Algorithm Gossip: 八枚银币

说明

现有八枚银币a b c d e f g h，已知其中一枚是假币，其重量不同于真币，但不知是较轻或较重，如何使用天平以最少的比较次数，决定出哪枚是假币，并得知假币比真币较轻或较重。

解法

单就求假币的问题是不难，但问题限制使用最少的比较次数，所以我们不能以单纯的迴圈比较来求解，我们可以使用决策树（decision tree），使用分析与树状图来协助求解。

一个简单的状况是这样的，我们比较a+b+c与d+e+f ，如果相等，则假币必是g或h，我们先比较g或h哪个较重，如果g较重，再与a比较（a是真币），如果g等于a，则g为真币，则h为假币，由于h比g轻而 g是真币，则h假币的重量比真币轻。

完整的比较决策树如下图所示：

为了方便使用迴圈，使用号码0至7表示银币，范例程式可以让您输入假币重量，但您无法事先得知假币是哪一枚，程式可得知假币是哪一枚，且它比真币轻或重。

实作

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <time.h> 
 
void compare(int[], int, int, int); 
void eightcoins(int[]); 
 
int main(void) { 
    int coins[8] = {0}; 
    int i; 

    srand(time(NULL)); 

    for(i = 0; i < 8; i++) 
        coins[i] = 10; 

    printf("\n输入假币重量(比10大或小)："); 
    scanf("%d", &i); 
    coins[rand() % 8] = i; 

    eightcoins(coins); 

    printf("\n\n列出所有钱币重量："); 
    for(i = 0; i < 8; i++) 
        printf("%d ", coins[i]); 

    printf("\n"); 

    return 0; 
} 

void compare(int coins[], int i, int j, int k) { 
    if(coins[i] > coins[k]) 
        printf("\n假币 %d 较重", i+1); 
    else 
        printf("\n假币 %d 较轻", j+1); 
} 

void eightcoins(int coins[]) { 
    if(coins[0]+coins[1]+coins[2] == 
       coins[3]+coins[4]+coins[5]) { 
        if(coins[6] > coins[7]) 
            compare(coins, 6, 7, 0); 
        else 
            compare(coins, 7, 6, 0); 
    } 
    else if(coins[0]+coins[1]+coins[2] > 
            coins[3]+coins[4]+coins[5]) { 
        if(coins[0]+coins[3] == coins[1]+coins[4]) 
            compare(coins, 2, 5, 0); 
        else if(coins[0]+coins[3] > coins[1]+coins[4]) 
            compare(coins, 0, 4, 1); 
        if(coins[0]+coins[3] < coins[1]+coins[4]) 
            compare(coins, 1, 3, 0); 
    } 
    else if(coins[0]+coins[1]+coins[2] <
            coins[3]+coins[4]+coins[5]) { 
        if(coins[0]+coins[3] == coins[1]+coins[4]) 
            compare(coins, 5, 2, 0); 
        else if(coins[0]+coins[3] > coins[1]+coins[4]) 
            compare(coins, 3, 1, 0); 
        if(coins[0]+coins[3] < coins[1]+coins[4]) 
            compare(coins, 4, 0, 1); 
    } 
}

Java

public class Coins {
    private int[] coins;
    
    public Coins() {
        coins = new int[8];
        for(int i = 0; i < 8; i++) 
            coins[i] = 10; 
    }
    
    public void setFake(int weight) {
        coins[(int) (Math.random() * 7)] = weight;
    }
    
    public void fake() {
        if(coins[0]+coins[1]+coins[2] == 
           coins[3]+coins[4]+coins[5]) { 
            if(coins[6] > coins[7]) 
                compare(6, 7, 0); 
            else 
                compare(7, 6, 0); 
        } 
        else if(coins[0]+coins[1]+coins[2] > 
                coins[3]+coins[4]+coins[5]) { 
            if(coins[0]+coins[3] == coins[1]+coins[4]) 
                compare(2, 5, 0); 
            else if(coins[0]+coins[3] > coins[1]+coins[4]) 
                compare(0, 4, 1); 
            if(coins[0]+coins[3] < coins[1]+coins[4]) 
                compare(1, 3, 0); 
        } 
        else if(coins[0]+coins[1]+coins[2] < 
                coins[3]+coins[4]+coins[5]) { 
            if(coins[0]+coins[3] == coins[1]+coins[4]) 
                compare(5, 2, 0); 
            else if(coins[0]+coins[3] > coins[1]+coins[4]) 
                compare(3, 1, 0); 
            if(coins[0]+coins[3] < coins[1]+coins[4]) 
                compare(4, 0, 1); 
        } 
    }
    
    protected void compare(int i, int j, int k) {
        if(coins[i] > coins[k]) 
            System.out.print("\n假币 " + (i+1) + " 较重"); 
        else 
            System.out.print("\n假币 " + (j+1) + " 较轻"); 
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        if(args.length == 0) {
            System.out.println("输入假币重量（比10大或小）");
            System.out.println("ex. java Coins 5");
            return;
        }
        
        Coins eightCoins = new Coins();
        eightCoins.setFake(Integer.parseInt(args[0]));
        eightCoins.fake();
    }
}