Algorithm Gossip: Eratosthenes筛选求质数

说明

除了自身之外，无法被其它整数整除的数称之为质数，要求质数很简单，但如何快速的求出质数则一直是程式设计人员与数学家努力的课题，在这边介绍一个着名的 Eratosthenes求质数方法。

解法

首先知道这个问题可以使用迴圈来求解，将一个指定的数除以所有小于它的数，若可以整除就不是质数，然而如何减少迴圈的检查次数？如何求出小于N的所有质数？

首先假设要检查的数是N好了，则事实上只要检查至N的开根号就可以了，道理很简单，假设A*B = N，如果A大于N的开根号，则事实上在小于A之前的检查就可以先检查到B这个数可以整除N。不过在程式中使用开根号会精确度的问题，所以可以使用 i*i <= N进行检查，且执行更快。

再来假设有一个筛子存放1∼N，例如：

2　3　4　5　6　7　8　9　10　11　12　13　14　15　16　17　18　19　20　21 ........ N

先将2的倍数筛去：

2　3　5　7　9　11　13　15　17　19　21 ........ N

再将3的倍数筛去：

2　3　5　7　11　13　17　19　........ N

再来将5的倍数筛去，再来将7的质数筛去，再来将11的倍数筛去........，如此进行到最后留下的数就都是质数，这就是Eratosthenes筛选方法（Eratosthenes Sieve Method）。

检查的次数还可以再减少，事实上，只要检查6n+1与6n+5就可以了，也就是直接跳过2与3的倍数，使得程式中的if的检查动作可以减少。

实作

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 

#define N 1000 

int main(void) { 
    int i, j; 
    int prime[N+1]; 

    for(i = 2; i <= N; i++) 
        prime[i] = 1; 

    for(i = 2; i*i <= N; i++) { // 这边可以改进 
        if(prime[i] == 1) { 
            for(j = 2*i; j <= N; j++) { 
                if(j % i == 0) 
                    prime[j] = 0; 
            } 
        } 
    } 

    for(i = 2; i < N; i++) { 
        if(prime[i] == 1) { 
            printf("%4d ", i); 
            if(i % 16 == 0) 
                printf("\n"); 
        } 
    } 

    printf("\n"); 

    return 0; 
}

Java

import java.util.*;

public class Prime {    
    public static int[] findPrimes(final int max) { 
        int[] prime = new int[max+1]; 
        ArrayList list = new ArrayList();

        for(int i = 2; i <= max; i++) 
            prime[i] = 1; 

        for(int i = 2; i*i <= max; i++) { // 这边可以改进 
            if(prime[i] == 1) { 
                for(int j = 2*i; j <= max; j++) { 
                    if(j % i == 0) 
                        prime[j] = 0; 
                } 
            } 
        } 

        for(int i = 2; i < max; i++) { 
            if(prime[i] == 1) { 
                list.add(new Integer(i)); 
            } 
        }
        
        int[] p = new int[list.size()];
        Object[] objs = list.toArray(); 
        for(int i = 0; i < p.length; i++) {
            p[i] = ((Integer) objs[i]).intValue();
        }
        
        return p;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] prime = Prime.findPrimes(1000);
        
        for(int i = 0; i < prime.length; i++) {
            System.out.print(prime[i] + " ");
        }
        
        System.out.println();
    }
}