Algorithm Gossip: 约瑟夫问题（Josephus Problem）

说明

据说着名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人佔领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。

然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

解法

约瑟夫问题可用代数分析来求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您与您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆圈内圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：

使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直而计数达41为止，然后将阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀顺序，这就是约瑟夫排列，41个人而报数3的约琴夫排列如下所示：

14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23

由上可知，最后一个自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置，之前的人都死光了，所以他们也就不知道约琴夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。

实作

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 41 
#define M 3 

int main(void) { 
    int man[N] = {0}; 
    int count = 1; 
    int i = 0, pos = -1; 
    int alive = 0; 

    while(count <= N) { 
        do { 
            pos = (pos+1) % N;  // 环状处理 
            if(man[pos] == 0) 
                i++; 

            if(i == M) {  // 报数为3了 
                i = 0; 
                break; 
            } 
        } while(1); 

        man[pos] = count; 
        count++; 
    } 

    printf("\n约琴夫排列："); 
    for(i = 0; i < N; i++) 
        printf("%d ", man[i]); 

    printf("\n\n您想要救多少人？"); 
    scanf("%d", &alive); 

    printf("\nL表示这%d人要放的位置：\n", alive); 
    for(i = 0; i < N; i++) { 
        if(man[i] > alive) 
            printf("D"); 
        else 
            printf("L"); 

        if((i+1) % 5 == 0) 
            printf("  "); 
    } 
    printf("\n"); 

    return 0; 
}

Java

public class Josephus {
    public static int[] arrayOfJosephus(
                               int number, int per) {
        int[] man = new int[number]; 

        for(int count = 1, i = 0, pos = -1; 
                count <= number; count++) { 
            do { 
                pos = (pos+1) % number;  // 环状处理 
                if(man[pos] == 0) 
                    i++; 

                if(i == per) {  // 报数为3了 
                    i = 0; 
                    break; 
                } 
            } while(true); 

            man[pos] = count; 
        } 
        
        return man;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] man = Josephus.arrayOfJosephus(41, 3);
        int alive = 3;
        
        System.out.println("约琴夫排列："); 
        for(int i = 0; i < 41; i++) 
            System.out.print(man[i] + " "); 


        System.out.println("\nL表示3个存活的人要放的位置："); 
        for(int i = 0; i < 41; i++) { 
            if(man[i] > alive) 
                System.out.print("D"); 
            else 
                System.out.print("L"); 

            if((i+1) % 5 == 0) 
                System.out.print("  "); 
        } 

        System.out.println();
    }
}